\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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	a4paper,
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	right=12.7 mm,
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\usepackage{mathrsfs} % 用于\mathscr命令
\usepackage{amsfonts} % 用于数学符号字体

\newcommand{\bvec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{电与磁的交织：最小作用量原理的奇妙故事}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.4 \linewidth]{pic1}
		\caption{AI绘图：穿梭电磁间...}
		\label{fig:pic1}
	\end{figure}
	
	\footnote{参考：朗道《场论》，Griffiths《电动力学导论》，David Tong 《Electromagnetism》, https://zhuanlan.zhihu.com/p/512627361。
		本文使用AI辅助。}
	在之前的笔记中，我们只考虑了电磁场如何驱动电荷运动，但是还不知道电荷如何驱动电磁场变化，以及电磁场自身如何变化。
	我们现在解决这个问题。
	
	\subsection{电磁场系统的作用量；电磁张量}
	
	\subsubsection*{电流与电磁场的耦合作用量}
	在隔壁笔记中我们已经知道电荷与电磁场的耦合作用量：
	\begin{equation}
		S_{mf} = - q \int A_\mu \dd x^\mu = -q \int (\varphi \dd t -A_x \dd x -A_y \dd y -A_z \dd z)
	\end{equation}
	现在我们要把它推广到电荷连续分布的形式：
	\begin{equation}
		S_{mf} = - \int q A_\mu \dd x^\mu = - \int \int (\rho \varphi - \rho A_x v_x - \rho A_y v_y - \rho A_z v_z)\dd V \dd t
	\end{equation}
	其中$\rho$,$v_x$有点类似与电荷密度场与电荷运动的局域速度场。
	定义4-电流：
	\begin{equation}
		j^\mu = (c\rho, \rho v_x, \rho v_y, \rho v_z)^T = (c\rho, j_x,j_y,j_z)^T
	\end{equation}
	那么我们顺理成章地得到了电流的作用量：
	\begin{equation}
		S_{mf} = - \int A_\mu j^\mu \dd[3] V \dd t = - \int A_\mu j^\mu \dd[4] x
	\end{equation}
	在这种语境下，4-电流也相当于一个场，指出时空每个区域的电流密度$j^\mu = j^\mu(t,x,y,z)$。
	
	\subsubsection*{电磁场的作用量；电磁张量}
	要知道电磁场如何变化，我们就得知道电磁场自身的作用量。
	直接给出结论，电磁场自身的作用量是：
	\begin{equation}
		S_{f} = - \frac{1}{4\mu_0} \int F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \dd[4] x
	\end{equation}
	其中$F$是电磁张量（F得名于Faraday），$F$可由4-势$A$定义，他的协变形式是：
	\begin{equation} \label{eq:def_F}
		F_{\mu\nu} = \pdv{A_\nu}{x^\mu} - \pdv{A_\mu}{x^\nu}
	\end{equation}
	而逆变形式
	\begin{equation} \label{eq:def_F}
		F^{\mu\nu} = \pdv{A^\nu}{x_\mu} - \pdv{A^\mu}{x_\nu}
	\end{equation}
	由于$\mu,\nu = 0,1,2,3$，因此$F$的大小是$4 \times 4$。
	其中$A^\mu$是我们熟悉的4-势$A^\mu = (\varphi/c,A_x,A_y,A_z)^T$。
	根据定义，$F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}$，即$F$必然是反对称张量，且对角项为$0$。
	也就是说，$F$只有$6$个独立变量。
	
	
	如果忘记了什么是协变与逆变，在这里我们突击一下：
	逆变量使用上标，如$A^\mu = (\varphi/c,A_x,A_y,A_z)^T$；
	而协变量使用下标，如$A_\mu = (\varphi/c,-A_x,-A_y,-A_z)^T$，
	二者相差一个度规（此处我们使用$g=diag(1,-1,-1,-1)$）；
	简单地说，“对调$\mu=0$时不变号，而对调$\mu=1,2,3$时变号”；
	对于导数也是如此，比如
	逆变导数$\pdv{}{x^\mu} = (\frac{1}{c}\pdv{}{t},\pdv{}{x},\pdv{}{y},\pdv{}{z})^T$，
	而协变导数$\pdv{}{x_\mu} = (\frac{1}{c}\pdv{}{t},-\pdv{}{x},-\pdv{}{y},-\pdv{}{z})^T$。
	张量也是如此，反转张量的一个上下标时遵循和向量一样的规则，如$F^{10}=F^{1}_{~0}=-F_{10}$。
	总之，在狭义相对论中，上下标的位置是有意义的。
	顺带一提，我们会使用Einstein求和约定以省略数不胜数的求和号，即一项中的重复标代表求和，称为哑标，
	例如$x_\mu x^\mu = \sum_\mu x_\mu x^\mu $。
	
	我们来找出$F$的各个分量。比如说，
	$F_{01} = \pdv{A_1}{x^0} - \pdv{A_0}{x^1} = - \frac{1}{c}\pdv{A_x}{t} - \frac{1}{c}\pdv{\varphi}{x} = \frac{1}{c} E_x$
	其余项同理，总之，$F$的协变形式：
	\begin{equation} \label{eq:F_1}
		F_{\mu\nu} = 
		\begin{pmatrix}
			0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\
			-E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
			-E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
			-E_z/c & -B_y & B_x & 0
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	与$F$的逆变形式：
	\begin{equation}\label{eq:F^1}
		F^{\mu\nu} = 
		\begin{pmatrix}
			0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\
			E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\
			E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\
			E_z/c & -B_y & B_x & 0
		\end{pmatrix}
	\end{equation}
	二者相差一个度规。
	
	\subsubsection*{电流-电磁场系统的作用量}
	因此，一个完整的由电流与电磁场组成的系统的作用量是
	\begin{equation} \label{eq:S}
		S = S_{mf} + S_{f} = - \int A_\mu j^\mu \dd[4] x - \frac{1}{4\mu_0} \int F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \dd[4] x
	\end{equation}
	
	\subsection{电磁场系统的最小作用量原理；Maxwell方程组}
	最小作用量原理依然成立。为找到电磁场的物理规律，我们对作用量求变分。
	在求场的最小作用量时，我们假定电流（电荷）的运动是不变的，即只对$F$与$A$变分。
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta S &= -\int \delta A_\mu j^\mu \dd[4] x - \frac{1}{2\mu_0} \int \delta F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} \dd[4] x\\
			&= -\int \delta A_\mu j^\mu \dd[4] x - \frac{1}{2\mu_0} \int ( \pdv{\delta A_\nu}{x^\mu} - \pdv{\delta A_\mu}{x^\nu}) F^{\mu\nu} \dd[4] x\\
			&= -\int \delta A_\mu j^\mu \dd[4] x - \frac{1}{\mu_0} \int ( \pdv{\delta A_\nu}{x^\mu}) F^{\mu\nu} \dd[4] x\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	其中使用了$F$的反对称性。然后就是喜闻乐见地凑全微分：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			\delta S &= -\int \delta A_\mu j^\mu \dd[4] x - \frac{1}{\mu_0} \int ( \pdv{\delta A_\nu}{x^\mu}) F^{\mu\nu} \dd[4] x\\
			&= -\int \delta A_\mu j^\mu \dd[4] x - \frac{1}{\mu_0} \int \pdv{}{x^\mu}~ ( \delta A_\nu F^{\mu\nu})  \dd[4] x + \frac{1}{\mu_0 c} \int ( \pdv{ F^{\mu\nu}}{x^\mu}) \delta A_\nu\dd[4] x\\
			&= -\int \delta A_\mu j^\mu \dd[4] x + \frac{1}{\mu_0} \int ( \pdv{ F^{\mu\nu}}{x^\mu}) \delta A_\nu\dd[4] x\\
			& = \int ( \frac{1}{\mu_0} \pdv{ F^{\mu\nu}}{x^\mu} - j^\nu) \delta A_\nu\dd[4] x
		\end{aligned}
	\end{equation}
	最后一步时我们改变了$j$哑标的名称。又因为$\delta S = 0$，我们发现
	\begin{equation}
		\boxed
		{
			\pdv{ F^{\mu\nu}}{x^\mu} = \mu_0 j^\nu
		}
	\end{equation}
	由此，我们从最小作用量原理推知了电磁场的运动规律。
	我们随后将说明，这其实相当于Maxwell方程组（的其中之二）。
	
	\subsection{第二对Maxwell方程}
	（标题的名称依据Landau的书）
	假如我们往Maxwell方程中代入$\nu=0$，那么
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			& \pdv{ F^{\mu\nu}}{x^\mu} = \mu_0 j^\nu \\
			\Rightarrow & \pdv{ F^{00}}{x^0}+\pdv{ F^{10}}{x^1}+\pdv{ F^{20}}{x^2}+\pdv{ F^{30}}{x^3} = \mu_0 j^0 \\
			\Rightarrow & \pdv{ E_x /c }{x}+\pdv{ E_y /c }{y}+\pdv{ E_z /c }{z} = \mu_0 c \rho
		\end{aligned}
	\end{equation}
	即
	\begin{equation}
		\div \bvec E = \frac{\rho}{\epsilon_0}
	\end{equation}
	别忘了，$c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$。
	其余由$\nu=1,2,3$导出的方程应该是
	\begin{equation}
		\curl \bvec B = \mu_0 \bvec j + \mu_0 \epsilon_0\pdv{\bvec E}{t}
	\end{equation}
	这正是我们在电动力学中学到的Maxwell方程。
	
	\subsection{第一对Maxwell方程}
	我们已经导出了两个Maxwell方程，但是好像还差了两个？
	事实上，当我们使用$A$构造$F$时，我们就已经假定$F$具有某些性质。
	比如说我们先前使用$A$定义了电场与磁场：
	\begin{equation}
		\bvec E = -\grad \varphi - \pdv{\bvec A}{t} 
		\qquad
		\bvec B = \curl \bvec A
	\end{equation}
	那么，对电场求旋度，由于梯度无旋，因此
	\begin{equation}
		\curl \bvec E = - \curl \pdv{\bvec A}{t} = - \pdv{\bvec B}{t}
	\end{equation}
	对磁场求散，由于旋度无散，因此
	\begin{equation}
		\div \bvec B = \div \curl \bvec A = 0
	\end{equation}
	这是另外两对Maxwell方程，藏匿于$F$的结构之中。至此，我们得到了所有Maxwell方程。
	
	\subsection{电荷守恒}
	我们知道
	\begin{equation}
		\pdv{ F^{\mu\nu}}{x^\mu} = \mu_0 j^\nu
	\end{equation}
	那么，4-电流的四维散度是
	\begin{equation}
		\pdv{j^\nu}{x^\nu} = \pdv{}{x^\nu}\pdv{}{x^\mu} F^{\mu\nu}
	\end{equation}
	然而$F^{\mu\nu}$是反对称的，因此求和必然互相抵消（例如$\pdv{}{x^2}\pdv{}{x^1}F^{12}+\pdv{}{x^1}\pdv{}{x^2}F^{21}=\pdv{}{x^2}\pdv{}{x^1}F^{12}-\pdv{}{x^1}\pdv{}{x^2}F^{12}=0$）。
	因此，4-电流的四维散度为零
	\begin{equation}
		\pdv{j^\nu}{x^\nu} = 0
	\end{equation}
	根据4-电流的定义，翻译为电荷密度和电流：
	\begin{equation}
		\pdv{\rho}{t} + \div \bvec j = 0
	\end{equation}
	太伟大了！
	下次如果你忘记了电动力学公式，那么只要你知道最小作用量原理，你就能从地基开始重建电动力学体系！
	
	\newpage
		
	\section{电磁场的规范对称性}
	
	\subsection{规范对称性}
	虽然电磁场的$S$由4-势$A^\mu$等确定，但实则$A^\mu$也有一定的变化空间而不影响物理规律，这称为规范变换，
	如同经典力学中势能$V$可以相差一个常数。
	具体而言，规范对称性是指对4-势进行如下规范变换而不改变电磁场的形式：
	\begin{equation}
		A_\mu \rightarrow A_\mu - \pdv{\lambda}{x^\mu},
	\end{equation}
	其中$\lambda$是任一标量场。
	翻译成电势与磁势的语言，这意味着
	\begin{equation}
		\varphi \to \varphi - \pdv{\lambda}{t}
		\qquad 
		\bvec A \to \bvec A + \div \lambda
	\end{equation}
	为了证明规范变换不改变电磁场的形式，我们首先定义电磁场张量 $F_{\mu\nu}$ 为：
	\begin{equation}
		F_{\mu\nu} = \pdv{A_\nu}{x^\mu} - \pdv{A_\mu}{x^\nu}.
	\end{equation}
	进行规范变换后，新的4-势 $A_\mu'$ 为：
	\begin{equation}
		A_\mu' = A_\mu - \pdv{\lambda}{x^\mu}.
	\end{equation}
	接下来，我们计算变换后的电磁场张量 $F_{\mu\nu}'$：
	\begin{align}
		F_{\mu\nu}' &= \pdv{A_\nu'}{x^\mu} - \pdv{A_\mu'}{x^\nu} \\
		&= \pdv{\left( A_\nu - \pdv{\lambda}{x^\nu} \right)}{x^\mu} - \pdv{\left( A_\mu - \pdv{\lambda}{x^\mu} \right)}{x^\nu} \\
		&= \pdv{A_\nu}{x^\mu} - \pdv{\left( \pdv{\lambda}{x^\nu} \right)}{x^\mu} - \pdv{A_\mu}{x^\nu} + \pdv{\left( \pdv{\lambda}{x^\mu} \right)}{x^\nu}.
	\end{align}
	由于偏导数的对称性，上式中的交叉项相互抵消。因此，规范变换不改变电磁场的形式。
	\begin{equation}
		F_{\mu\nu}' = F_{\mu\nu}.
	\end{equation}
	规范对称性是电磁场的一种内部对称性。
	
	\subsection{Lorenz规范}
	规范对称性赋予了我们选择4-势形式的灵活性。
	例如，我们可以通过规范变换将4-势的四维散度设为0，这被称为Lorenz规范：
	\begin{equation}
		\text{Lorenz规范} \qquad \pdv{A^\mu}{x^\mu} = 0
	\end{equation}
	翻译成电势与磁势的语言，这意味着
	\begin{equation}
		\text{Lorenz规范} \qquad \div \bvec A = - \frac{1}{c^2}\pdv{\varphi}{t}
	\end{equation}
	
	\subsection{达朗贝尔方程}
	在规范对称性的加持下，我们重新审视Maxwell方程组，并将其表示为4-势的形式：
	\begin{equation}
		\begin{aligned}
			& \pdv{F^{\mu\nu}}{x^\mu} = \mu_0 j^\nu \\
			\Rightarrow & \pdv{}{x^\mu} \left( \pdv{}{x_\mu} A^\nu - \pdv{}{x_\nu} A^\mu \right) = \mu_0 j^\nu \\
			\Rightarrow & \pdv{}{x_\mu} \pdv{}{x^\mu} A^\nu - \pdv{}{x_\nu} \pdv{}{x^\mu} A^\mu = \mu_0 j^\nu \\
			\Rightarrow & \pdv{}{x_\mu} \pdv{}{x^\mu} A^\nu = \mu_0 j^\nu \qquad \text{选取Lorenz规范后,$\pdv{}{x^\mu} A^\mu= 0$}\\
		\end{aligned}
	\end{equation}
	亦即
	\begin{equation}
		\left( \frac{1}{c^2} \pdv[2]{}{t}- \laplacian \right) A^\mu = \mu_0 j^\mu
	\end{equation}
	（我们按照习惯重命名$\nu$为$\mu$了）
	非常简洁啊有木有！
	Maxwell方程组在形式上变成了关于4-势的波动方程，联系了4-势与4-电流的各个分量，称为达朗贝尔方程。
	翻译为电势与磁势的语言后，我们得到$4$个方程：
	\begin{equation}
		\begin{cases}
			\left( \frac{1}{c^2} \pdv[2]{}{t} - \laplacian \right) \varphi &= \frac{\rho}{\epsilon_0} \\
			\left( \frac{1}{c^2} \pdv[2]{}{t} - \laplacian \right) A_x &= \mu_0 j_x \\
			\left( \frac{1}{c^2} \pdv[2]{}{t} - \laplacian \right) A_y &= \mu_0 j_y \\
			\left( \frac{1}{c^2} \pdv[2]{}{t} - \laplacian \right) A_z &= \mu_0 j_z \\
		\end{cases}
	\end{equation}
	
	\newpage
	\section{DLC}
	\subsection{电荷密度有关参考系吗？}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}
			% 绘制坐标轴
			\draw[->] (0,0) -- (5,0) node[right] {$x$};
			\draw[->] (0,0) -- (0,4) node[above] {$y$};
			
			% 绘制矩形和标注
			\draw (2,3) rectangle (3,4) node[pos=.5] {$V_0$};
			\node at (2.5,4.2) {$\rho_0 = \frac{Q}{V_0}$};
			\node at (1.5,3.5) {$a$};
			
			% 绘制矩形 b 和标注
			\draw (2.4,1) rectangle (3,2) node[pos=.5] {$\frac{1}{\gamma} V_0$};
			\node at (2.7,2.3) {$\rho = \gamma \frac{Q}{V_0} > \rho_0$}; 
			\node at (1.9,1.5) {$b$};
			
			% 添加向右箭头和标注 v
			\draw[->] (3,1.5) -- (3.5,1.5) node[midway, above] {$v$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{示意图，两块相同的带电体，a相对参考系静止而b相对于参考系运动。由于尺缩效应，b看起来体积更小、因此电荷密度更高}
	\end{figure}
	在不同参考系下，我们会观察同一块带电体具有相同的电荷密度$\rho$吗？
	答案是非常神奇的\textbf{否定}的。
	从直觉上说，假设我们有一块电荷块，在其静止时测得电荷为$Q$,体积为$V_0$，那么它的静止电荷密度是$\rho_0 = Q/V_0$；
	然而一旦它运动起来，尽管电荷量不变，但是由于尺缩效应，体积变为$V=(1/\gamma) V_0$，此时他的电荷密度看起来将是$\rho = \gamma Q/V_0 = \gamma \rho_0$。
	($\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$是Lorentz因子)
	
	数学地说，假定$S0$参考系中的4-电流为
	\begin{equation}
		j^{(0)\mu} =(c\rho_0,0,0,0)^T
	\end{equation}
	而在另一个相对于$S0$匀速运动的参考系$S1$中，4-电流将按照Lorentz转换为
	\begin{equation}
		j^{(1)\mu} 
		= \begin{pmatrix}
			\gamma & \beta\gamma & 0 & 0 \\
			\beta\gamma & \gamma & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix} 
		\begin{pmatrix} 
			c\rho_0 \\
			0 \\
			0 \\
			0 
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			\gamma c\rho_0 \\
			\beta\gamma c\rho_0 \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			c \rho \\
			\rho v^{(1)}_x \\
			0 \\
			0
		\end{pmatrix}
		\Rightarrow
		\rho = \gamma \rho_0
	\end{equation}
	这再次印证了我们的直觉。由此，这给出了4-电流的另一种定义：
	\begin{equation}
		j^\mu = \rho_0 U^\mu
	\end{equation}
	其中$U$是固有速度。

\end{document}
